Op zijn zevende begon Nouri bij de jeugdopleiding van AFC Ajax en hij doorliep alle jeugdelftallen.[5] Nouri werd toen hij A-junior was gezien als een van de grootste talenten uit de jeugdopleiding van Ajax. In de winterstop van het seizoen 2014/15 mocht hij samen met Donny van de Beek en keeper Indy Groothuizen met het eerste elftal mee op trainingskamp naar Qatar.[6] Ook mocht hij regelmatig met het eerste elftal meetrainen. Tijdens het trainingskamp verlengde de middenvelder zijn verbintenis met een jaar tot medio 2018.[7] Eind januari tekende hij het nieuwe contract.[8]

Op 13 maart 2015 maakte Nouri zijn professionele debuut bij Jong Ajax in de Eerste divisie. In de uitwedstrijd tegen VVV-Venlo, die met 1-0 werd verloren, kwam Nouri na 78 minuten in het veld voor Danny Bakker.[9] Een halfjaar na zijn debuut verlengde hij samen met Donny van de Beek en Václav Černý zijn contract tot medio 2020.[10] Tijdens de winterstop in januari 2016 mocht Nouri opnieuw met het eerste elftal mee op trainingskamp, ditmaal naar Belek in Turkije.[11] Tijdens dit trainingskamp maakte hij op 9 januari 2016 zijn officieuze debuut voor Ajax in een vriendschappelijk duel met Hamburger SV. Nouri kwam in de 78e minuut in de ploeg voor Amin Younes. De wedstrijd werd met 1-3 gewonnen door Ajax.[12] Zijn eerste doelpunt in het betaald voetbal scoorde Nouri op 22 april 2016 voor Jong Ajax in het uitduel met FC Volendam. Nouri was na een uur spelen verantwoordelijk voor de openingstreffer. De wedstrijd eindigde uiteindelijk in een 1-1-gelijkspel.[13]

Ajax-coach Peter Bosz haalde Nouri tijdens de voorbereiding op het seizoen 2016/17 bij de A-selectie.[14] Nouri begon dit seizoen opnieuw bij Jong Ajax. Bosz nam hem op 21 september 2016 op in de wedstrijdselectie voor een KNVB beker-wedstrijd tegen Willem II.[15] Nouri maakte tijdens deze bekerwedstrijd die Ajax met 5-0 wist te winnen zijn officiële debuut in de hoofdmacht. Hij kwam na 73 minuten spelen in het veld voor Hakim Ziyech. Vlak voor tijd maakte hij zijn eerste doelpunt voor Ajax uit een directe vrije trap die hij zelf kreeg. Hoewel hij maar kort speelde, waren de recensies lovend. Nouri koos zelf voor rugnummer 34, omdat hij naar eigen zeggen Ajax aan zijn 34ste landstitel wil helpen. Nouri debuteerde op 24 november 2016 in de UEFA Europa League, tijdens een met 2-0 gewonnen wedstrijd thuis tegen Panathinaikos FC.

Nouri werd in 2012 verkozen tot beste speler van het Marveldtoernooi.[16] In april 2014 werd hij uitgeroepen tot beste speler van de Future Cup.[17] In mei 2017 won hij de Gouden Stier voor beste voetballer van de Eerste divisie in het seizoen 2016/17.[18] In oktober 2016 had hij al de Bronzen Stier ontvangen voor beste voetballer in de eerste periode.